FIA 1500 Astrofísica General 2004-1


Profesor: Alejandro Clocchiatti

Trabajo Práctico 2 - Fecha de entrega: Abril 9, 2004

Ejercicio 1

La magnitud de una estrella medida cuando está en el zenit es $m_{\lambda 0}$. Sea $\theta$ la distancia cenital de la estrella.

1. Definiendo a la masa de aire $X$ como $X = \sec(\theta)$ ¿Cuál será la magnitud medida a 2, 3, y 4 masas de aire si la profundidad óptica vertical es 0.23.

2. ¿A que altitud sobre el horizonte corresponden esas masas de aire?

3. Supongamos que deseamos hacer fotometría con una precisión de 0.01 magnitud. Nos preguntamos hasta que distancia cenital podremos llegar con la hipótesis de astmósfera plano-paralela manteniéndonos bajo esta cota de error.

   Sea $I^p_{\lambda , 0}$ la intensidad específica fuera de la atmósfera que calculamos asumiendo que la masa de aire esta dada por $\sec(\theta)$, e $I^c_{\lambda , 0}$ la que calculamos tomando el desarrollo de cuarto orden para una atmósfera curva, que fué dado en clase. Defina una diferencia de magnitud $\delta m$ que corresponda a la razón de éstas intensidades, y conteste: ¿Cuáles son las distancias cenitales máximas que puede tolerar usando $X = \sec(\theta)$ para las siguientes profundidades ópticas verticales: $\tau_{\rm U, 0} = 0.55$, $\tau_{\rm B, 0} = 0.27$, $\tau_{\rm V, 0} = 0.14$, $\tau_{\rm R, 0} = 0.11$, $\tau_{\rm I, 0} = 0.06$? (que corresponden aproximadamente a las bandas $U,\, B,\, V,\, R_{\rm c},\, I_{\rm c}$, respectivamente¹y fueron medidas en el Observatorio de Cerro Tololo, en el norte de Chile).

Ejercicio 2

La densidad de partículas en la atmósfera terrestre cerca de la superficie de la tierra puede representarse aproximadamente con una ley exponencial $n(h) = n_0 \, \exp(-h/h_0)$, donde $h$ es la altura sobre la superficie, $h_0 = 8.0\,$km es la altura de escala y $n_0 = 2.5 \times 10^{19}\,$cm$^{-3}$ es la densidad superficial de todas las partículas gaseosas que componen la atmósfera. Tomando como base este modelo de densidad, y asumiendo que la composición química de la atmósfera no varía con la altura $h$, calcule la sección eficaz de extinción, $\sigma_\lambda$, para las longitudes de onda de las bandas $U,\, B,\, V,\, R_{\rm c},\, I_{\rm c}$, de las partículas que originan las profundidades ópticas verticales dadas en el ejercicio 1. Compárelos con la sección eficaz de Thompson para electrones libres ( $\sigma_e = 6.65 \times 10^{-25}\,$cm$^2$) y con el ``area'' de un átomo ilustrativo como el H (el radio de la ``órbita'' electrónica más cercana, llamado Radio de Bohr, es $r = 0.53\,$Å), y conteste: ¿Son razonables estos números? Si no lo son: ¿Que hipótesis del modelo exponencial sugiere alterar para describir a nivel microscópico las profundidades ópticas verticales medidas en Tololo?

Ejercicio 3

Un proceso astrofísico emite una intensidad específica $I_\lambda^0$ cuya dependencia con la longitud de onda es lineal, y dada por

$$I_\lambda^0(\lambda) = {13 \over 6} - {\lambda \over 6000} \... ... { \rm erg \, cm^{-2} \, s^{-1} \, ester.^{-1} \, \AA^{-1} } ]$$ (1)

donde $\lambda$ es la longitud de onda en Å. Esta radiación recorre una nube homogenea de largo total $L$ que tiene una función fuente constante $S_\lambda = 1.0 \ [{\rm erg \, cm^{-2} \, s^{-1} \, ester.^{-1} \, \AA^{-1} } ]$, y un coeficiente de extinción constante con la longitud de onda (llamado ``gris'') $\alpha_\lambda^0 = 2\, L^{-1} \ [{\rm cm^{-1}}]$.

1. Calcule la intensidad específica para $\lambda =$ 4000, 6000, 8000 y 10000 Å, cuando la radiación ha recorrido la mitad de la nube (distancia recorrida $s = L/2$) y toda la nube ($s = L$).

2. Grafique en el mismo diagrama las intensidades específicas del punto anterior, el espectro incidente $I_\lambda^0(\lambda)$, y la función fuente $S_\lambda$ (conecte entre sí los puntos de distinta longitud de onda que corresponden a la misma profundidad óptica, teniendo como eje ``x'' a la longitud de onda).

3. Describa el resultado. ¿Porqué cambia la pendiente del espectro con la profundidad óptica?

Ejercicio 4

Suponga ahora que el coeficiente de extinción no es gris, sino que varía con la longitud de onda de acuerdo con:

$$\alpha_\lambda = \alpha_\lambda^0 \left({7000 \over \lambda}\right)^2$$ (2)

donde $\alpha_\lambda^0$ es el coeficiente de extinción del caso anterior y $\lambda$ es la longitud de onda expresada en Å.

1. Calcule la profundidad optica para $\lambda =$ 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 y 10000 Å, cuando la radiación ha recorrido la mitad de la nube (distancia recorrida $s = L/2$) y toda la nube ($s = L$). Grafíquelas todas en el mismo diagrama (teniendo como eje ``x'' a la longitud de onda).
2. Calcule ahora la intensidad específica para $\lambda =$ 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 y 10000 Å, cuando la radiación ha recorrido la mitad de la nube y toda la nube $s = L$.
3. Grafique en el mismo diagrama estas intensidades específicas, el espectro incidente $I_\lambda^0(\lambda)$, y la función fuente $S_\lambda$.

4. Describa el resultado, en particular, explique porqué la parte azul del espectro relaja hacia la función fuente más rápido que la roja.