Podemos hacer un proceso totalmente análogo, y dibujar la línea de un observador C, para el que P será anterior a Q. Así, finalmente, tenemos tres observadores con las características pedidas.

Un satélite está haciendo un mapa de la superficie de Marte con un radar. La señal tarda 0,1 segundos en rebotar y volver al satélite. ¿A qué altura orbita el satélite?

Podemos suponer que el satélite está siempre a la misma distancia de Marte, ya que el tiempo que tarda la señal es despreciable y no alcanza a haber una variación en las posiciones. Si hacemos el diagrama espacio-tiempo:

La distancia es calculada como el tiempo que tardó la luz en recorrerla multiplicado por la velocidad de la luz, c. En este caso, la luz tarda la mitad de 0,1 seg. en recorrer esta distancia (es 0,1 seg en ir y volver). Por lo que esta distancia es, aproximadamente,

Un astronauta se acerca a velocidad constante en su nave espacial a una base ubicada en un planeta lejano. Envía una señal anunciando su llegada, que es respondida de inmediato en la base, y recibe esta respuesta dos días después. Al día siguiente, manda otro mensaje y recibe la nueva respuesta con sólo un día de retardo.

¿Cuánto tardará en llegar al planeta, después de haber recibido la segunda respuesta?

Primero hacemos el diagrama correspondiente

Llamamos R a los eventos en que el astronauta envía mensajes y S cuando recibe las respuestas; Q son los eventos en que desde el planeta reciben el mensaje y responden y L es el evento correspondiente a la llegada del astronauta al planeta.

Para calcular cuánto tardará el astronauta en llegar, debemos saber a qué velocidad se acerca al planeta y a qué distancia se encuentra. La distancia a la que se encuentra en el instante Q1’ simultáneo a la recepción en el planeta del primer mensaje es la mitad del tiempo que demora en ir y volver el mensaje (tiempo entre R1 y S1), multiplicada por la velocidad de la luz.

Esta distancia, d1, es la distancia en el evento Q1 (o su simultáneo Q1’ para el astronauta).

Podemos hacer algo totalmente similar y calcular d2, la distancia en el momento Q2, de la recepción en el planeta del segundo mensaje:

Por otro lado, la diferencia temporal entre Q1’ y Q2’ (para el astronauta, es la misma que la existente entre Q1 y Q2) es la suma entre las diferencias temporales que hay entre Q1’ y S1 (1 día), S1 y R2 (1 día), y R2 y Q2’ (½ día). Por esto, el intervalo de tiempo entre Q1’ y Q2’ será de 2½ días.

Ahora, podemos calcular que la velocidad con la que se acerca el astronauta es la razón entre la diferencia de distancias y el tiempo en que esta diferencia ocurre:

Como ahora sabemos la velocidad a la que se acerca el astronauta, el tiempo que tarde en llegar será la división de la distancia a la que se encuentre en un instante por la velocidad que lleva. Así, el tiempo que transcurre entre Q2’ (donde sabemos su distancia) y L será de :

Finalmente, como ese es el tiempo entre Q2’ y L, debemos restarle a esa cantidad el tiempo entre Q2’ y S2. Así obtenemos el tiempo entre S2 y L, que es lo pedido

Un recién nacido, cuya esperanza de vida es de 70 años, es enviado en una nave espacial hacia un planeta de una estrella que se encuentra a 100 años-luz. Calcule la velocidad mínima con la cual debe viajar para llegar vivo al planeta.

Para resolver este problema, lo que debemos hacer es calcular la velocidad a la cual debería viajar para tardar 70 años (medidos en la nave) en llegar. Sabemos que la velocidad de la nave debe ser mayor a la que calculemos.

Primero, hagamos el diagrama espacio tiempo. Supondremos que la Tierra y el planeta lejano están a una distancia contante, como se dijo (la distancia es tan grande que las pequeñas variaciones no importan).

Designamos P al evento en que la nave sale de la Tierra y L al evento en que la nave llega al lejano planeta.

Calcularemos el D s² que existe entre estos dos eventos, pues sabemos que éste es invariante para todos los observadores, es decir, tanto en la nave como en la Tierra medirán el mismo valor.

Para el viajero, ambos eventos ocurren en su línea de universo. Por lo tanto la separación entre ellos será sólo temporal, y ésta debe ser de 70 años. Así calculamos

• D s² = - 4900 años²

Ahora debemos pensar en lo que ve un observador situado en la Tierra. Éste ve que hay una separación espacial (que es siempre de 100 años-luz) y una temporal. Si igualamos el D s² medido desde la Tierra con el medido desde la nave, tendremos una ecuación que entregará el valor de la diferencia temporal medida desde la Tierra, entre los eventos P y L (que, como sabemos, debe ser distinta a 70 años). Finalmente, al dividir la distancia por el tiempo que demora en ser recorrida (ambas mediciones hechas desde la Tierra) tendremos la velocidad de la nave. Hagamos esto, el D s² medido desde la Tierra es:

Por otro lado, sabemos que D s² debe ser igual a – 4900 años ². Así llegamos a la ecuación:

Cuya solución es D t = 122,066 años, es decir, desde la Tierra vemos que la nave se demora aprox. 122 años en llegar a su destino.

Como tenemos la distancia y el tiempo medidos desde la Tierra, la velocidad (medida desde la Tierra) es la división de esas dos cantidades.

Finalmente, la velocidad de la nave tiene que ser como mínimo ese valor para que el recién nacido pueda llegar con vida al planeta.

Una nave (A) interestelar de ataque dispara un rayo láser a una nave enemiga (B). Dos minutos más tarde, observa la explosión y nota que el enemigo no ha sido destruido. Entonces, un minuto después, lanza un segundo ataque del mismo tipo y tres minutos después se ve claramente que la otra nave ha sido eliminada. Suponiendo que ambas naves se mueven a velocidad constante, responda:

¿A qué distancia, medida desde la nave vencedora, estaban las naves al momento de las explosiones?

¿A qué velocidad se alejan una de otra las naves?

¿Cuánto tiempo tuvieron los sobrevivientes del primer ataque para abandonar la nave?

Como siempre, empezaremos realizando el diagrama espacio-tiempo. Notemos que, como el tiempo que demora la señal en rebotar aumenta, las naves se van alejando.

Llamamos R a los eventos en que la nave lanza el rayo láser, S a los eventos en que ve la explosión y E a las explosiones (estamos suponiendo que la explosión ocurre instantáneamente al recibir el láser).

El tiempo que transcurre entre R1 y S1 es de 2 minutos; por lo tanto, la distancia que mide A desde un evento en su línea de universo que sea simultáneo (para ella) con E1 y ese evento es la mitad de ese tiempo multiplicada por la velocidad de la luz.

Análogamente, podemos encontrar d2, la distancia en la segunda explosión, esta vez el tiempo que demora la señal en rebotar es de 3 minutos.

Sabemos que entre los eventos E1’ y E2’ (simultáneos, según A, a E1 y E2 en la línea de universo de A) el intervalo de tiempo es la suma de los siguientes intervalos: el tiempo que tarda en llegar la señal de la primera explosión a A, el tiempo que tarda A en lanzar otro ataque y el tiempo que tarda el segundo rayo en alcanzar a B, esto es,

D t = 1 [min] + 1 [min] + 1,5 [min] = 3,5 [min] = 210 s

Por último, el tiempo que tuvieron los sobrevivientes para escapar es el tiempo (medido en B) entre los eventos E1 y E2. Para calcular esto debemos usar la invarianza de D s². Primero calcularemos este valor como es medido por A.

D t, para A, es el tiempo entre E1’ y E2’ (ya que los ve simultáneos a E1 y E2, respectivamente) que, como calculamos, es de 210 s.

D d, para A, es la distancia que mide entre los eventos E1 y E2. A sabe que entre ambas explosiones se alejó 9 millones de km de B, por lo que D d es 9.000.000 km.

Ahora debemos pensar en el valor de D s² para B. Para esta nave ambos eventos ocurren en su línea de universo, por lo que la separación entre ellos es solamente temporal.

Por otro lado, D s² debe ser constante sin importar quién lo mide, por esto podemos escribir:

Si despejamos D t de esa ecuación obtenemos D t = 207,85 s, es decir, los sobrevivientes al primer ataque tuvieron menos de 208 segundos para lograr escapar.

Blanco estima que dos eventos lejanos, A y B, son simultáneos, de los cuales A es más cercano que B. El astronauta White pasa junto a Blanco en ese mismo instante, alejándose de Blanco con velocidad constante, en dirección opuesta a la de los eventos.

¿Cuál es el orden temporal, para White, de estos tres eventos?

Para contestar esta pregunta, haremos el diagrama espacio-tiempo de esta situación, donde llamaremos P al evento en que ambos astronautas se cruzan.

Observando el dibujo, vemos claramente que, para White el orden temporal de los eventos es P, A’, B’. Como A’ y B’ son simultáneos (para White) con A y B, respectivamente, el orden de los eventos (mientras son simultáneos para Blanco) para White es P, A, B.

1. Dibujar el diagrama espacio-tiempo de esta situación.
2. Calcular a qué velocidad viaja el astronauta.
3. ¿Cuánto demorará el astronauta, según su reloj, en llegar?
4. ¿Cuándo llegará, según el reloj de la colonia? ¿Alcanzará a llegar a tiempo antes de la explosión?